研究生学习01

平面波展开法

¶基本概念

1. 布洛赫波（Bloch wave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Bloch state），布洛赫波由一个平面波和一个周期函数 U®（布洛赫波包）相乘得到,其中 U® 与势场具有相同的周期性：
   $$
   \psi(\boldsymbol{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} u(\boldsymbol{r})$$
   式中k 为波向量。上式表达的波函数称为布洛赫函数。当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：
   $$
   \psi\left(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R}{\boldsymbol{n}}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot \boldsymbol{R}{n}} \psi(\boldsymbol{r})$$
   这一结论称为布洛赫定理（Bloch’s theorem），其中$ R_{n}$为晶格周期向量。
2. 群速度：$$
   v_{g} \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}
   $$
3. 在确定的完整晶体结构中，布洛赫波向量 ${k}$是一个守恒量（以倒易点阵向量为模），即电子波的群速度为守恒量.
4. 在三维空间里，平面波（plane wave）是一种波动，其波阵面（在任何时刻，波相位相等的每一点所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。假若平面波的振幅不是常数，例如，振幅是位置的函数，则称此种平面波为“非均匀平面波”。
5. 用数学来表述，波动方程为:$$
   \nabla^{2} f-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=0$$
   其中，$\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)$ 是描述波动的函数，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算符，$\displaystyle v$ 是波动传播的速度，$\mathbf {x} $ 是位置，$t$ 是时间.
   • 描述平面波的函数$\tilde{\psi}$ ($\mathbf {x} ,t)$是波动方程的一种解答:
     $$
     \nabla^{2} \tilde{\psi}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \tilde{\psi}}{\partial t^{2}}=0
     $$
   • 平面波 $\tilde {\psi }$($\mathbf {x} ,t)$的形式为:
     $$
     \tilde{\psi}(\mathbf{x}, t)=\tilde{A} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t)}
     $$
     其中，$i$ 是虚数单位，$\mathbf{k}$ 是波矢，$\omega =kv$ 是角频率，$\tilde {A}$ 是复值的振幅标量。
     取复函数的实部，则可以得到其物理意义。
     $$
     \operatorname{Re}{\tilde{\psi}(\mathbf{x}, t)}=|\tilde{A}| \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t+\arg \tilde{A})$$
     注意到在任意时刻 $t=t_{0}$ ，波相位不变的曲面满足方程
     $$
     \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t_{0}+\arg A=c_{1}
     $$
     或者
     $$
     \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}=c_{2}
     $$
     其中，$c_1$ 、$c_{2}$ 是任意常数。
     所有满足这方程的$\mathbf {x} $ 形成一个与 $\mathbf{k}$ 相互垂直的平面，平行波的波前就是这种平面，所有的波前都与 $\mathbf{k}$ 相互垂直，都相互平行.